Mr Why, nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ XX

Mr Why, nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ XX

Kurt Gödel: “My God, the mazes must be enormous”

Bất chấp mọi cảnh báo về sự suy thoái của chất lượng giáo dục, lối dạy học ngày nay vẫn nặng về khoa trương chữ nghĩa, hình thức sáo rỗng, nhồi nhét kiến thức nặng nề chẳng khác gì “lòng gà lòng vịt” để mang ra chợ bán. Đây là sự trộn lẫn tàn dư của truyền thống “tầm chương trích cú” trong nền giáo dục hủ nho ở Đông phương ngày xưa với ảnh hưởng tai hại của Chủ Nghĩa Hình Thức trong giáo dục ở Tây phương những năm 1960. Lối dạy học đó đã từng bị Albert Einstein lên án không thương tiếc:

“Giáo dục nhồi nhét tất yếu dẫn tới sự nông cạn và vô văn hoá”(1).

Với Einstein, một nền giáo dục tốt phải biết gợi mở để người học đặt câu hỏi, vì đó là dấu hiệu khởi đầu của óc sáng tạo. Ông từng nói với sinh viên: “Điều quan trọng là người ta không ngừng hỏi”(2).

Có một tấm gương không ngừng hỏi: Một cậu bé hỏi nhiều đến nỗi cha mẹ cậu phải lấy làm đau đầu rồi đặt cho cậu biệt danh “Mr Why” (Ông Tại Sao). Sau này lớn lên, “Mr Why” đã trở thành “nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20”(3). Đó chính là Kurt Gödel, tác giả Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness) – “một trong những định lý quan trọng nhất đã được chứng minh trong thế kỷ 20, sánh ngang với Thuyết Tương Đối của Einstein và Nguyên Lý Bất Định của Heisenberg”(4).

Nhưng Einstein và Heisenberg nổi tiếng bao nhiêu thì tên tuổi của Gödel lại bị che khuất bấy nhiêu! Đó là một sự thật trớ trêu – ẩn số lớn nhất trong lịch sử khoa học thế kỷ 20. Giải mã ẩn số này là một việc cần thiết, vì nó không những làm sáng tỏ ý nghĩa vô cùng trọng đại của Định Lý Bất Toàn, mà còn giải thích vì sao “bóng ma” của Chủ Nghĩa Hình Thức vẫn có thể tiếp tục ám ảnh nhiều nền giáo dục trên thế giới, gây nên những hỗn loạn và tổn thất không thể đo đếm được, mặc dù chủ nghĩa này đã chính thức bị Định lý Gödel khai tử từ năm 1931.

1] Một gương mặt vĩ đại bị che khuất:

Thế kỷ XX có 3 lý thuyết cách mạng gây nên những cuộc đảo lộn triệt để chưa từng có về nhận thức: 
1-Thuyết Tương Đối của Einstein, 
2-Nguyên Lý Bất Định của Heisenberg, và 
3-Định Lý Bất Toàn của Gödel.

Tuy nhiên, “số phận” của Định Lý Bất Toàn “bi đát” hơn hai lý thuyết kia rất nhiều: Mặc dù Thuyết Tương Đối chưa bao giờ được trao Giải Nobel nhưng nó nhanh chóng chiếm được niềm tin của giới vật lý, đưa tên tuổi Einstein lên hàng “Copernicus của thế kỷ 20”(5); Nguyên Lý Bất Định tuy bị Einstein chống đối đến cùng, nhưng được Niels Bohr và rất nhiều nhà vật lý hàng đầu ủng hộ, sớm làm cho lý thuyết của Heisenberg có ảnh hưởng lớn trong vật lý. Trong khi đó, Gödel chủ yếu chỉ được giới học thuật gần gũi với ông biết đến. Định lý của ông trong một thời gian rất dài không được phổ biến rộng rãi. Trừ một vài nhân vật xuất chúng sớm nhận thấy tầm quan trọng của định lý này, còn đại đa số các nhà toán học khác vẫn nuối tiếc lý tưởng của Chủ Nghĩa Hình Thức, mặc dù lý tưởng ấy đã bị Định Lý Gödel chứng minh là huyễn hoặc, không tưởng. Trước khi Định Lý Gödel ra đời, trường phái hình thức gần như thống trị toán học, khuynh đảo tư tưởng toán học, vì thế thói tự phụ của nó rất lớn, sức ỳ của nó cũng rất lớn. Nó không dễ giơ tay đầu hàng như một võ sĩ quân tử bị đấm gục trên sàn đấu. Tính bảo thủ trong khoa học đôi khi lớn hơn rất nhiều so với những gì chúng ta vẫn kỳ vọng vào tính khách quan của khoa học! Hậu quả là Định Lý Gödel bị rất nhiều nhà toán học tảng lờ, nếu không muốn nói là ngấm ngầm chống đối. Trong bối cảnh ấy, tên tuổi của Gödel bị che khuất là điều dễ hiểu. Sự thật này đã được John Casti & Werner DePauli nhấn mạnh ngay trong Lời Nói Đầu của cuốn “Gödel, A Life of Logic” (Gödel, một cuộc đời cho Logic):

“Trong dịp lễ chào mừng thiên niên kỷ mới, tạp chí Time đã công bố danh sách 100 nhân vật vĩ đại nhất của thế kỷ 20. Kurt Gödel được liệt trong danh sách đó như là nhà toán học vĩ đại nhất. Tuy nhiên, nếu bạn lựa chọn ngẫu nhiên 100 người và hỏi họ “Quý vị có biết Kurt Gödel là ai không?”, thì dường như chắc chắn là quý vị sẽ nhận được câu trả lời không đồng nhất. Tình hình sẽ hoàn toàn khác nếu bạn hỏi ai là nhà vật lý vĩ đại nhất thế kỷ 20, câu trả lời sẽ đồng nhất: Einstein, …Năm 1965, trong thư gửi ngài bộ trưởng ngoại giao Áo Bruno Kreysky (sau này làm thủ tướng), nhà kinh tế học đáng kính người Áo Oskar Morgenstern viết: “Tuyệt đối chẳng còn gì để nghi ngờ rằng Gödel là nhà logic vĩ đại nhất đang còn sống; thật vậy, những nhà tư tưởng xuất chúng như Hermann Weyl và John Von Neumann đều đã tuyên bố Gödel rứt khoát phải là nhà logic vĩ đại nhất kể từ Leibniz, hoặc thậm chí kể từ Aristotle. Nhưng dường như trong toàn bộ lịch sử của Đại học Vienna, không có tên tuổi của một gương mặt nào từng giảng dạy ở đó lại bị che khuất như tên tuổi của Gödel …Có lần Einstein nói với tôi rằng công trình nghiên cứu riêng của ông không còn có ý nghĩa nhiều đối với ông nữa, và rằng ông đến Viện nghiên cứu(6) đơn giản chỉ để có đặc ân được đi bộ về nhà cùng với Gödel mà thôi”.

Hoá ra “nhà logic vĩ đại nhất kể từ Aristotle”, người mà Einstein “đến Viện nghiên cứu đơn giản chỉ để có đặc ân được cùng đi bộ về nhà” lại chẳng được giới toán học hưởng ứng nhiệt liệt như giới vật lý đã dành cho Thuyết Tương Đối và Nguyên Lý Bất Định. Tại sao vậy? Vì Định Lý Gödel đã làm tan “giấc mộng vàng” của Chương Trình Hilbert – giấc mộng làm mê hoặc lòng người vì nó hứa hẹn sẽ dẫn toán học tới “thiên đường hoàn mỹ”!

2] “Giấc mộng vàng” của Chương Trình Hilbert:

Giấc mộng ấy xuất phát từ một nhận thức bản năng cố hữu rằng toán học là một cái gì đó xác định, tuyệt đối chặt chẽ, không thể có kẽ hở logic. Kiểu nhận thức ấy lộ rõ trong “mốt” dạy toán hiện nay: Chú trọng thái quá vào những biện luận tiểu tiết mà bỏ quên việc nhấn mạnh và khơi gợi ý nghĩa thực tiễn của bài toán. Nhận thức ấy càng “vững chắc” bao nhiêu thì càng dễ khủng hoảng bấy nhiêu trước những “sự cố bất định” trong toán học. Chẳng hạn: Tổng S = 1 – 1 + 1 – 1 + … = ? Dễ dàng chứng minh S = 0 hoặc S = 1 hoặc S = ½ . Hoá ra toán học cũng “bất định” ư? Đó là một nghịch lý, và toán học không thể chấp nhận nghịch lý!

Nhưng “bất hạnh” thay, đầu thế kỷ 20, toán học đã lâm vào khủng hoảng nghịch lý (paradoxe crisis) trầm trọng chưa từng có, trong đó Nghịch Lý Russell là “cơn địa chấn 8 độ richter”, đe doạ làm sụp đổ toà lâu đài toán học vì nó đã chỉ ra những vết rạn nứt ngay từ trong nền móng(7).

Thay vì linh cảm mách bảo nghịch lý chính là tín hiệu báo động bản chất bất toàn của mọi hệ logic (như sau này Định lý Gödel đã chỉ rõ), phần lớn các nhà toán học đã tập hợp lại dưới ngọn cờ của David Hilbert để lo sửa chữa, tái thiết lại toà lâu đài toán học, với nhiệm vụ cấp bách là làm “vệ sinh” cho toán học – “tẩy rửa” mọi nghịch lý ra khỏi toán học!

Đó là lý do ra đời Chương Trình Hilbert, với tham vọng “vá trời lấp biển”: Xây dựng một hệ thống siêu-toán-học (meta-mathematics) – một hệ thống toán học tuyệt đối siêu hình, tuyệt đối thoát ly khỏi thế giới hiện thực, cho phép XÁC ĐỊNH tính trắng/đen, đúng/sai của bất kỳ một mệnh đề toán học nào và chứng minh tính phi mâu thuẫn của toàn bộ toán học.

Để xây toà lâu đài siêu-toán-học, cần có những công cụ lý tưởng, nhằm đảm bảo tuyệt đối loại bỏ các “tạp chất phi-toán-học” ra khỏi toán học. Công cụ “lý tưởng” ấy đã sẵn có: Logic và lý thuyết tập hợp, như Hermann Weyl mô tả : “Logic là phép vệ sinh mà các nhà toán học thực hành nhằm giữ cho tư tưởng của họ được khoẻ mạnh và chắc chắn”(8). Kể từ đó, chủ nghĩa tôn sùng logic và tập hợp ra đời, nghiễm nhiên trở thành tư tưởng thống trị toán học, rồi dần dần trở thành một “mốt thời thượng”, cứ như là nếu không có logic và tập hợp thì toán học sẽ tiêu vong (!?).

Cũng chính từ đó, nhận thức về bản chất của toán học bắt đầu bị méo mó: Toán học bị đồng nhất với Logic hình thức (Logic thuần tuý suy diễn bằng ký hiệu, bất chấp ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học).

Sự méo mó ấy đạt tới mức tột đỉnh khi người ta hạ thấp vai trò thực dụng của toán học, để dồn mọi nỗ lực vào việc tìm kiếm hệ thống siêu-toán-học – thực chất là tìm kiếm một thứ TOE (Theory of Everything) của toán học), tức một “Lý Thuyết Về Mọi Thứ” của toán học! Nỗ lực ấy được cổ vũ mạnh mẽ bởi tuyên bố chắc nịch của Hilbert:

“Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết”

(Wir müssen wissen; wir werden wissen)

Nhưng “lúc vui nhất là lúc nên về”(9) – “Lễ hội tưng bừng” của Chương Trình Hilbert bị chấm dứt đột ngột vào năm 1931, khi Gödel công bố Định Lý Bất Toàn: “Năm 1931, một nhà toán học mới có 25 tuổi đã công bố một công trình vĩnh viễn phá huỷ niềm hy vọng của Hilbert. Kurt Gödel đã buộc các nhà toán học phải chấp nhận rằng toán học sẽ không bao giờ hoàn thiện về mặt logic, …Đây là một đòn trí mạng giáng vào chương trình Hilbert”(10). Hoá ra “giấc mộng vàng” của Chương Trình Hilbert chỉ là một giấc mơ không tưởng, y như giấc mơ của “Sáu anh chàng ở xứ Indostan”(11) muốn khám phá ra Con Voi của họ. Và hoá ra siêu-toán-học chỉ là một “Con Voi Toán Học” hay “Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức”(12) mà thôi. Vậy đã đến lúc cần biết rõ nội dung Định Lý Gödel, để hiểu vì sao nó lại trở thành “đòn trí mạng” đối với Chủ Nghĩa Hình Thức của Hilbert.

3] Nội dung của Định Lý Bất Toàn:

Nguyên văn Định Lý Gödel được trình bầy bằng ngôn ngữ logic hình thức, rất khó hiểu đối với những người không chuyên ngành. Nhưng may thay, nó đã được phiên dịch sang ngôn ngữ thông thường để bất cứ ai cũng có thể hiểu được. Gọi chung là Định Lý Bất Toàn nhưng thực ra có hai định lý. Cả hai đều chỉ ra rằng toán học về bản chất là bất toàn (không đầy đủ), vì nó luôn chứa đựng những mệnh đề không quyết định được (undecidable), tức những mệnh đề không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ.

Định lý 1: Nếu một lý thuyết dựa trên một hệ tiên đề phi mâu thuẫn thì trong lý thuyết ấy luôn luôn tồn tại những mệnh đề không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ.

Định lý 2: Không tồn tại bất cứ một quy trình suy diễn nào cho phép chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề.

Chẳng hạn, hãy xét mệnh đề được đóng khung sau đây:

Mệnh đề này không có bất cứ một chứng minh nào

Chú ý rằng đó là một mệnh đề nói về chính nó.

Nếu mệnh đề trên sai, suy ra phủ định của nó đúng, tức là nó có thể chứng minh được, nhưng kết luận này trái với nội dung của chính nó. Vậy buộc nó phải đúng, tức là không thể chứng minh được.

Phiên dịch ngược mệnh đề trên sang ngôn ngữ của logic toán, chúng ta sẽ có một mệnh đề toán học đúng nhưng không thể chứng minh được.

Đặc trưng của loại mệnh đề này là ở chỗ nó nói về chính nó, vì thế chúng được gọi là “mệnh đề tự quy chiếu” (self-referential statements).

Từ xa xưa, khoảng 600 năm trước CN, một nhà thơ kiêm triết gia cổ Hy Lạp là Epimenides ở xứ Cretan cũng đã nêu lên một mệnh đề về một kẻ tự nói về mình, “Ta là kẻ nói dối!” (I am a liar!), để khuyến cáo các nhà thông thái về cái vòng logic luẩn quẩn của những mệnh đề tự nói về mình. Mệnh đề này rất nổi tiếng và đã đi vào lịch sử triết học, ngôn ngữ học, logic học với tên gọi “Nghịch lý Cretan” hay “Nghịch lý Epimenides”.

Siêu Toán Học xét cho cùng chính là một hệ thống toán học tự quy chiếu, bởi vì nó dùng toán học để phán xét chính bản thân toán học!

Vậy Chương Trình Hilbert ắt phải sa vào cái vòng logic luẩn quẩn, như một kẻ đi tìm điểm cuối cùng trên một đường tròn vậy. Chính Nghịch Lý Russell đã chỉ ra cái vòng luẩn quẩn trong Số Học của Frege, nhưng đáng tiếc là Russell lại không nhận ra bản chất bất toàn của logic toán học, nên ông lại tìm mọi cách “khắc phục” sai lầm của Frege, hòng tiếp tục giương cao ngọn cờ của Chủ Nghĩa Hình Thức. Phải đợi đến khi Định Lý Gödel ra đời thì Chủ Nghĩa Hình Thức mới thật sự bị khai tử! Thật vây:

● Nếu Chương trình Hilbert có tham vọng xác định rứt khoát tính trắng/đen, đúng/sai của bất kỳ một mệnh đề nào thì Định Lý Gödel lại khẳng định toán học tồn tại những mệnh đề không thể quyết định được!

● Nếu Chương trình Hilbert muốn chứng minh tính phi mâu thuẫn của toàn bộ toán học thì Định Lý Gödel lại khẳng định không tồn tại một quy trình nào để chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề!

Cụ thể, Hilbert muốn chứng minh tính phi mâu thuẫn của Hệ Tiên Đề Số Học (bài toán số 2 trong số 23 bài toán Hilbert thách thức thế kỷ 20), nhưng Định Lý Gödel khẳng định rằng bài toán ấy là vô vọng.

Định lý 2 có thể nói rõ hơn như sau: Không thể kiểm tra tính phi mâu thuẫn của một hệ thống A nếu chỉ sử dụng những tiên đề của hệ A, bởi vì trong hệ A luôn tồn tại những mệnh đề không quyết định được. Muốn kiểm tra tính phi mâu thuẫn của hệ A, buộc phải đi ra ngoài hệ A để bổ sung thêm những tiên đề mới cho A. Khi đó ta có một hệ thống mới, gọi là A mở rộng, trong A mở rộng lại xuất hiện những mệnh đề mới không quyết định được. Quy trình đó cứ tiếp diễn mãi và rốt cuộc là chẳng bao giờ đi tới đích cuối cùng. Vậy tham vọng tìm kiếm “Con Voi Toán Học” là BẤT KHẢ!

Sự thật tưởng như đã quá rõ, vậy mà “bóng ma” của Chủ Nghĩa Hình Thức vẫn tiếp tục ám ảnh nhiều nhà toán học và giáo dục cho đến tận hôm nay. Đó là trào lưu “Toán Học Mới” ở phương Tây những năm 1960, và là hiện tượng “dạy giả + học giả” ở nước ta hiện nay mà báo chí không ngừng phàn nàn kêu ca.

Nhưng nếu toàn bộ cộng đồng toán học mà bảo thủ như vậy thì ai là người đã đưa tên tuổi Gödel trở lại đúng vị trí và tầm vóc của ông như hôm nay? Tại sao tạp chí TIME lại tôn ông là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20?

Đó là nhờ công sức của những nhân vật lỗi lạc mà chủ yếu đều hoạt động trong lĩnh vực khoa học computer. Đầu tiên phải nhắc đến John von Newman, một nhà khoa học phi thường, một trong những ông tổ của khoa học computer tại Mỹ. Vốn là một cộng sự đắc lực trong Chương Trình Hilbert, nhưng ngay sau khi biết Định Lý Gödel, Newman đã lập tức huỷ bỏ các bài giảng theo chủ nghĩa hình thức để thay thế bằng Định Lý Gödel. Cùng với những công trình của Alan Turing và Alonso Church, và sau này của Gregory Chaitin, giới khoa học computer càng ngày càng nhận thấy Định Lý Gödel có ý nghĩa lớn hơn rất nhiều so với trước đây người ta tưởng: Ý nghĩa ấy vượt ra khỏi phạm vi toán học, bao trùm lên hàng loạt ngành khoa học mũi nhọn trong xã hội hiện đại, đặc biệt là khoa học computer, và cuối cùng là ý nghĩa sâu xa về triết học nhận thức.

Ý nghĩa triết học đó đã được chính Gödel nói rõ: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt ước muốn với hiện thực”!

Hệ thống giáo dục hiện đại có quá nhiều ước muốn – ước muốn tiến thật nhanh, ước muốn biến trẻ em thành những “thần đồng” – nhưng lại chẳng hiểu gì về khái niệm giới hạn của nhận thức mà truyện ngụ ngôn “Thầy Bói Xem Voi”(13) của John Saxe đã nói từ lâu và Định Lý Gödel đã khẳng định một cách không thể chối cãi được dưới dạng toán học!

Vậy trong khi giới khoa học và công nghệ computer thấy rõ ý nghĩa trọng đại của Định Lý Gödel để hướng nghiên cứu vào những đề tài thực tiễn, dẫn tới cuộc cách mạng thông tin ngày nay, thì nền giáo dục phổ thông lại khư khư ôm chặt cái tinh thần “cổ lỗ sĩ” của Chủ Nghĩa Hình Thức, biến sự học thành “hư học”, tụt hậu, không theo kịp đà phát triển của khoa học và công nghệ. Đó là một nghịch lớn về giáo dục. Nghịch lý ấy xuất phát từ chỗ không nhận thức được ý nghĩa và tầm vóc của Định Lý Gödel.

4] Ý nghĩa và tầm vóc của Định Lý Gödel:

● Trong cuốn “An incomplete Education” (Một nền giáo dục không đầy đủ), Judy Johns và William Wilson viết:

-Định Lý Gödel cũng được sử dụng để lý luận rằng computer sẽ chẳng bao giờ thông minh như con người, bởi vì phạm vi hiểu biết của nó bị giới hạn bởi một hệ tiên đề cố định, trong khi con người có thể khám phá ra những chân lý không thể dự đoán trước …

-Định lý này cũng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết ngôn ngữ hiện đại, trong đó người ta nhấn mạnh rằng khả năng diễn tả của ngôn ngữ sẽ tăng lên bằng những phương cách mới nhằm thể hiện ý tưởng.

-Định lý này cũng được dùng để giải thích rằng bạn sẽ chẳng bao giờ hoàn toàn hiểu được chính bạn, bởi vì ý nghĩ của bạn, giống như bất kỳ một hệ thống khép kín nào khác, chỉ có thể biết về bản thân mình dựa trên những kiến thức của chính mình. (Khi chúng ta tự nhận định về bản thân mình thì hệ tư duy của chúng ta trở thành một hệ tự quy chiếu, PVH).

● John von Neuman, người có mộ chí cách mộ Gödel chỉ 10m, nói:

-Theo những trải nghiệm của những người hiện còn sống, (thế kỷ 20) đã có ít nhất 3 cuộc khủng khoảng nghiêm trọng … trong đó có 2 cuộc khủng hoảng về vật lý, được gọi là khủng hoảng về nhận thức, đó là việc khám phá ra thuyết tương đối và lý thuyết lượng tử … Cuộc khủng hoảng thứ ba xẩy ra trong toán học. Đó là một cuộc khủng hoảng nghiêm trọng về nhận thức, liên quan tới việc tìm kiếm những phương pháp đúng đắn và chặt chẽ để đưa ra một chứng minh toán học chính xác. Toán học trước đây vốn được coi là tuyệt đối chặt chẽ, vì thế cuộc khủng hoảng này là hết sức bất ngờ, và lại càng bất ngờ hơn vào những ngày về sau, khi mà những phép mầu tưởng rằng không thể nào xẩy ra. Tuy nhiên nó đã xẩy ra(14) (“Phép mầu” ấy chính là Định Lý Bất Toàn của Kurt Gödel, PVH).

● Bách khoa toàn thư Wikipedia cũng nhận định:

-Định Lý Bất Toàn của Gödel … có ý nghĩa vô cùng quan trọng đối với triết học toán học. Nó … đã chỉ ra rằng chương trình của Hilbert nhằm tìm kiếm một hệ tiên đề đầy đủ và phi mâu thuẫn cho toàn bộ toán học là BẤT KHẢ, và do đó nó đã cho một câu trả lời phủ định đối với bài toán số 2 của Hilbert(15).

● Trong cuốn “Gödel, A Life of Logic” (đã dẫn), John Casti & Werner DePauli nhấn mạnh những ý nghĩa cực kỳ quan trọng sau đây:

-Gödel đã khám phá ra rằng cho dù tồn tại những chân lý về mối quan hệ giữa các con số thuần tuý (ý nói các con số tách rời ý nghĩa vật chất thực tế, PVH), thì các phương pháp suy diễn logic thực ra vẫn quá yếu để chúng ta có thể chứng minh tất cả những chân lý đó. Nói cách khác, đơn giản là thế giới chân lý lớn hơn thế giới chứng minh.

- Việc công bố một chứng minh không thể phản bác được rằng tồn tại những mệnh đề toán học được coi là đúng nhưng không thể chứng minh được, như Gödel đã làm năm 1931, đã gây chấn động thế giới toán học như một vụ nổ không khí ở Bắc cực giữa mùa đông lạnh buốt.

- Kết luận chủ yếu của Wittgenstein, rằng “logic là cần chứ không đủ để mô tả bất kỳ một thực tế khách quan nào”, và rằng “ngôn ngữ không thể bắt kịp với tất cả những gì tồn tại trên thế giới”, đã được Gödel trình bầy dưới dạng toán học … Về căn bản, cái mà Godel chỉ ra là không có một dạng toán học nào có thể đủ thông minh để biểu hiện đầy đủ khái niệm chân lý thường ngày.

● Nhận định trên cũng được Hofstadter nhấn mạnh trong cuốn Gödel, Escher, Bach như sau:

-Gödel đã chỉ ra rằng thế giới chứng minh là một thế giới nhỏ hơn thế giới chân lý, bất kể hệ tiên đề của thế giới ấy ra sao.

Có nghĩa là toán học – lĩnh vực nhận thức mà ta tưởng là “ông vua của các khoa học” – thực ra cũng rất “yếu”: Bằng trực giác, con người có thể cảm nghiệm được những chân lý toán học mà chính toán học không thể chứng minh! Gödel đã mô tả điều này rõ hơn ai hết:

Thế giới chân lý có thể chứng minh được quá nhỏ so với thế giới chân lý có thể nhận thức được (bằng trực giác + mọi phương tiện nhận thức), nhưng thế giới chân lý nhận thức được lại quá nhỏ bé so với thế giới hiện thực.

Có nghĩa là thế giới hiện thực quá mênh mông so với thế giới có thể chứng minh được! Vì thế Gödel không thể cầm lòng mà thốt lên:

“My God, the mazes must be enormous!” (Ôi lạy Chúa, cái mê cung (Ngài tạo ra) mới khổng lồ làm sao!). Lời thán này làm ta nhớ đến lời thán của Pierre Simon de Laplace một thế kỷ trước: “Ce que nous savons est peu de choses, ce que nous ignorons est immense” (Cái ta biết thì quá ít ỏi, cái ta không biết thì mênh mông). Nhưng Laplace chỉ nói như một tâm sự triết lý, trong khi Gödel nói như một khẳng định khoa học! Đó không phải là chủ nghĩa “bất khả tri” (Agnosticism), mà là khoa học về giới hạn của nhận thức.

● Bách Khoa Toàn Thư Triết Học Stanford (Stanford Encyclopedia of Phylosophy) cho biết(16): -Năm 1986, Solomon Feferman (giáo sư Đại Học Stanford, Mỹ, một nhà toán học và triết học khoa học nổi tiếng) nhận định rằng Kurt Gödel chiếm một vị thế không ai có thể so sánh được: Đó là nhà logic quan trọng nhất trong thời đại chúng ta … Có lẽ trong số những thành tựu có ý nghĩa nhất về logic kể từ những thành tựu của Aristotle, Đinh Lý Bất Toàn của Gödel là một bước ngoặt trong toán học thế kỷ 20. Công trình của ông đụng tới mọi lĩnh vực của logic toán học, nếu không phải là nguồn kích thích căn bản trong hầu hết các trường hợp. Trong công trình triết học của mình, Gödel đã trình bầy và bảo vệ chủ nghĩa Platonism trong toán học, bao gồm quan điểm cho rằng toán học là một khoa học mô tả, và rằng nhận thức chân lý toán học là một đối tượng khách quan (thay vì chủ quan do con người tự nghĩ ra, PVH).

● Và sau đây là nhận định trên một số trang mạng khoa học(17):

-Gödel đã chỉ ra rằng có những bài toán không thể giải được bằng bất kỳ một tập hợp quy tắc hoặc quy trình nào; để giải những bài toán đó, người ta luôn luôn phải mở rộng hệ tiên đề. Điều này đã phủ nhận một niềm tin phổ biến vào thời đó rằng các ngành toán học khác nhau có thể tập hợp lại và đặt trên một nền tảng logic duy nhất.

-Sau này Alan Turing đã đưa ra một diễn giải những kết quả của Godel bằng cách đặt chúng trên một cơ sở thuật toán: Có những con số và hàm số không thể tính toán được bằng bất kỳ một chiếc máy logic nào.

-Gần đây hơn, Gregory Chaitin, một nhà toán học làm việc tại IBM, đã nhấn mạnh rằng những kết quả của Godel và Turing đã xác định những giới hạn cơ bản đối với toán học.

-Là một trong những nhà logic xuất sắc nhất của mọi thời đại, Gödel với công trình của ông đã gây ra một va chạm vô cùng lớn đối với tư duy khoa học và triết học thế kỷ XX, vào lúc mà rất nhiều người, như Bertrand Russell, Alfred Whitehead và David Hilbert đang cố sử dụng logic và lý thuyết tập hợp để hiểu được toàn bộ nền tảng của toán học .

-Định lý Gödel đã chấm dứt một nỗ lực kéo dài một trăm năm hòng thiết lập một hệ tiên đề cho toàn bộ toán học. Nỗ lực chủ yếu đã được thực hiện bởi Bertrand Russell trong cuốn Principia Mathematica(1910-1913). Một nỗ lực khác là chủ nghĩa hình thức của Hilbert, nhưng nỗ lực này đã bị giáng một đòn chí tử bởi những kết quả của Gödel.

-Định lý Gödel là một bước ngoặt trong toán học thế kỷ 20, chỉ ra rằng toán học không phải là một cái gì đó hoàn hảo như ta vẫn tưởng. Định lý này cũng được sử dụng để ngụ ý rằng không bao giờ có thể lập được một chương trình cho computer để trả lời mọi câu hỏi toán học.

5] Kết:

Tầm vóc của Định Lý Gödel quá lớn, nhưng bài báo đã quá dài, phải tạm kết ở đây bằng những câu hỏi để cùng suy ngẫm:

-Liệu có thể hiểu đúng bản chất của toán học bằng cách đóng khung hiểu biết trong các tiên đề và định lý toán học không? Gödel gợi ý chúng ta rằng muốn hiểu toán học đầy đủ hơn, phải đi ra ngoài toán học! Vậy bên ngoài toán học là cái gì, nếu không phải là những phương tiện khác của nhận thức và đặc biệt là nhận thức trực giác dựa trên quan sát cuộc sống thực tế?

-Có phải Logic là “chiếc kim la bàn hướng tới chân lý” không? “Logic là gì? Phải chăng đó là những quy luật tư duy chính xác? Kinh nghiệm thường ngày và những nghiên cứu phong phú của các nhà tâm lý học cho thấy phần lớn tư duy của chúng ta không tuân theo logic. Từ đó suy ra rằng, hoặc phần lớn tư duy của con người là sai, hoặc logic chỉ tác động trong một phạm vi quá hẹp. Computers chính là những chiếc máy tuân thủ logic, đó chính là câu trả lời! Logic là những quy tắc của máy tính! Logic cũng áp dụng cho con người khi con người cố gắng biến mình thành những chiếc máy tính!”(18).

-Định Lý Gödel khuyến cáo rằng không thể có bất cứ một thứ TOE (Lý Thuyết Về Mọi Thứ) nào cả. Vậy khoa học có nên tốn quá nhiều tiền của và chất xám vào những đề tài phiêu lưu, nặng về khoa trương sáo rỗng không? Một lần nữa xin nhắc lại di huấn của chính Gödel: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt ước muốn với hiện thực”!

-Liệu việc nhồi nhét logic và tập hợp vào đầu trẻ em có biến trẻ em thành những “thần đồng” không? Giáo dục phổ thông là gì, nếu không KHAI TÂM mà chỉ lo khái trí, nhồi nhét kiến thức? Tạp chí TIME ngày 30-4-2001 cảnh báo: “Vậy bạn muốn biến trẻ em thành thần đồng?… Hãy vứt những danh hiệu phô trương đi, hãy nghỉ ngơi và để cho trẻ em là trẻ em”! Trong con mắt của tác giả bài viết này, đó chính là một hệ quả suy rộng tuyệt vời của Định Lý Gödel sang lĩnh vực giáo dục!.

Chú thích:

(1): “Thế giới như tôi thấy”, Albert Einstein, NXB Tri Thức, 2005, Trang 49

(2): “Einstein”, Nguyễn Xuân Xanh, NXB Tổng Hợp TP HCM, 2007, Trang 1

(3): Đánh giá của tạp chí TIME, được nhắc lại trong “Gödel, A Life of Logic”, John Casti & Werner DePauli, Perseus Publishing, Cambridge, Massachusetts, 2000.

(4): Nhận định về Định lý Gödel trên trang web eiNET.net:

http://www.einet.net...ess_Theorem.htm

(5): Đánh giá của Planck dành cho Einstein khi Einstein công bố Thuyết Tương Đối.

(6): Viện nghiên cứu cao cấp Princeton (Insitute For Advanced Study, Princeton), Mỹ

(7): Xem “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức”, Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc Tháng 5-2009, hoặc trên mạng Vietsciences (http://vietsciences.free.fr/) Tháng 5-2009.

(8): Xem “Định lý cuối cùng của Fermat”, Simon Singh, bản dịch của Phạm Văn Thiều và Phạm Việt Hưng, NXB Trẻ 2004, Chương 4.

(9): Lời của William Shakespeare

(10): Xem tài liệu đã dẫn trong ghi chú (8).

(11): Xem “Thầy Bói Xem Voi”, Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc, Tháng 2-2009 và trên mạng Vietsciences Tháng 2-2009.

(12): Xem “Con Voi Toán Học hay Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức”, Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc Tháng 03-2009 và trên mạng Vietsciences Tháng 03-2009.

(13): Xem tài liệu ghi chú (11).

(14) Xem International Journal of Theoretical Physics 21 (1982), Gregory J. Chaitin, trên trang web:http://www.cs.auckla...in/georgia.html

(15) Xem Wikipedia, mục từ Gödel’s incompleteness theorems. Bài toán số 2 là tìm một hệ tiên đề đầy đủ và phi mâu thuẫn cho Số Học.

(16) Xem trang mạng: http://plato.stanfor...entries/goedel/

(17): Xem các trang mạng sau đây:

http://www.explorato...icon/godel.html

http://picturesofpla...rch/label/Godel

http://www.resonance...m/kurtgodel.htm

(18): Xem tài liệu ghi chú (12).

Phạm Việt Hưng

Nguồn: viethungpham.com

Theo http://diendantoanhoc.net/