Tản mạn về TOÁN và THƠ

Tản mạn về TOÁN và THƠ

                                                                              PGS.TS. Lê Khánh Tuấn

      Bộ Giáo dục và Đào tạo     

Chúng ta đều biết tư duy logic là cách tốt nhất để khám phá ra chân lý, tiếp nhận chân lý và để chiếm lĩnh nó. Tư duy logic của toán học có mặt khắp mọi nơi của cuộc sống, cần cho mọi nơi của cuộc sống. Ai chiếm lĩnh được nó, hẳn sẽ làm nên nhiều điều hữu ích cho bản thân và cho xã hội. Thơ là “nghệ thuật sáng tác văn có vần theo những quy tắc nhất định để biểu thị hoặc gợi mở tình cảm bằng nhịp điệu, âm thanh, hình tượng” (Từ điển tiếng Việt, NXB Khoa học xã hội, 1994). Xét về tính logic, có lẽ thơ có biểu hiện tập trung nhất trong các loại hình nghệ thuật sáng tác của văn học. Vậy thì đương nhiên là có một mối quan hệ khăng khít giữa toán học và thơ ?

Từ sự xâm nhập của thơ vào toán…

Từ xưa nhân dân ta đã dùng thơ ca, hò vè để ra đề toán, làm cho thơ là toán và toán cũng trở thành thơ:

Vừa gà, vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
(Hỏi có mấy gà, mấy chó ?).

Có khi thơ còn gói ghém cho toán cả những… tình yêu kín đáo:

Em đi chợ phiên
Anh gửi một tiền
 Mua cam cùng quýt
 Không nhiều thì ít
Mua lấy một trăm

Quýt một đồng năm

Thanh yên ngày rằm
Mười đồng hai trái

(Hỏi mỗi thứ mấy quả ?).

Có một bài toán cổ Trung Quốc với giả thiết chặt chẽ, có giới hạn rõ ràng, muốn giải nó phải dùng đến lý thuyết phương trình đồng dư; nhưng đồng thời cũng là một bài thơ có cảnh, có người, có tâm trạng:

                    Nguyên tiêu gió mát, trăng trong

                   Phố phường nhộn nhịp, đèn chong sáng loà

                   Một mình dạo đếm đèn hoa

                 Dăm trăm đốm sáng biết là ai hay

                   Kết năm chẵn số đèn này

                   Bảy đèn kết một, còn hai ngọn thừa

                   Chín đèn thời bốn ngọn dư

                   Đèn bao nhiêu ngọn mà ngơ ngẩn lòng ?

Cũng có khi người ta phỏng thơ để mô tả rất trữ tình những công thức khô khan của toán học, làm cho nó dễ học, dễ nhớ. Chẳng hạn: “Tang mình cộng với tang ta, bằng sin đôi lứa, chia cốt ta, cốt mình” để diễn tả công thức tga + tgb = sin(a+b)/ cosa.cosb hoặc “Tang mình trừ với tang ta, bằng sin ly dị, chia cốt ta, cốt mình” để diễn tả công thức tga – tgb = sin (a-b)/ cosa.cosb.

… Đến tư duy toán học ở trong thơ

Khi xem xét các cấu trúc đại số chúng ta thấy: xuất phát từ tập hợp các đối tượng, giới hạn trong một khuôn khổ nào đó, thêm vào một thuật toán, ta có thể được một cấu trúc đơn giản gọi là phỏng nhóm; từ phỏng nhóm, thêm vào một số tính chất của thuật toán ta có nửa nhóm. Cứ như vậy, với việc thêm bớt thuật toán hoặc tính chất thuật toán, có thể hình thành nên tất cả các cấu trúc đại số từ đơn giản đến phức tạp (vị nhóm, nhóm, vành, miền, trường, thể…).

Có một logic tương tự: từ một tập hợp người ở trong một giới hạn địa lý nhất định, thêm vào đó những quy tắc hoạt động và một thể chế chính trị, ta có một xã hội. Tuỳ theo tính chất của các quy tắc, thể chế chính trị, ta có những xã hội khác nhau.

Sự giống nhau ấy, khó mà nói cái nào là hệ quả của cái nào. Tuy nhiên, có thể khẳng định chúng chung nhau ở một điểm là bản chất logic của sự hình thành. Từ gợi mở này, nên chăng, ta sẽ đặt vấn đề là dùng tư duy của toán để nhận thức về thơ ?

Phương pháp so sánh và phương pháp đẳng cấu

Một phương pháp đơn giản để nhận thức cái chưa biết hoặc mô tả rõ hơn cái biết chưa rõ là chúng ta thường dùng một cái đã biết để so sánh và nói rằng nó giống như thế. Ví dụ: Bà như quả đã chín rồi; càng thêm tuổi tác, càng tươi lòng vàng hoặc nhớ gì như nhớ người yêu. Sự so sánh này chỉ giải quyết được cho những nhu cầu nhận thức đơn giản, khó mà đi vào bản chất vấn đề; chỉ mới có sự gợi mở để tưởng tượng, mà không làm rõ được mối quan hệ bản chất.

Phương pháp đẳng cấu có một bước tiến xa hơn. Trong toán học hai cấu trúc đại số được gọi là đẳng cấu với nhau (khi tồn tại một ánh xạ đẳng cấu giữa chúng) thì chúng là y như nhau về tất cả các tính chất trong phạm trù đang xem xét. Nghĩa là khi biết được mối quan hệ bản chất trong cấu trúc thứ nhất thì hoàn toàn có thể nhận thức được bản chất các mối quan hệ trong cấu trúc thứ 2. Sự nhận thức này tất yếu đi vào bản chất, nắm chân lý, không có chỗ cho những tưởng tượng khác biệt nhau. Với cách nghĩ như vậy, những câu thơ sau đây của Borit-Ucatsin sẽ được hiểu một cách sâu xa nhất:

                     – Mẹ ơi, nói con nghe

                        Tình yêu màu gì vậy ?

                   – Màu tình yêu là màu lửa cháy

                   Như ngọn cờ đỏ dậy

                   Như ráng ửng trời xa

                   Tình yêu là mùa xuân vĩnh cửu của màu.

Nhà thơ đã lý giải “ cấu trúc” màu tình yêu thông qua phép đẳng cấu (thông qua chữ là – y như vậy) với 3 cấu trúc khác: màu lửa cháy, màu ngọn cờ đỏ dậy, màu ráng ửng trời xa để đi đến tình yêu là mùa xuân vĩnh cửu của màu. Nói theo đại số cao cấp thì màu tình yêu đẳng cấu với màu lửa, màu cờ, màu ráng ửng của trời xa; còn tình yêu thì đẳng cấu với mùa xuân vĩnh cửu của màu. Tình yêu là như vậy đó, đúng thật là không có cách hiểu nào hơn thế để diễn tả hết sự “ý tại ngôn ngoại” của khổ thơ trên.

So sánh bộ phận và nhúng chìm đẳng cấu

Phương pháp này cũng tương tự như trên, nhưng là để so sánh với cái nằm trong toàn thể, cái bộ phận; để cùng với phương pháp so sánh và đẳng cấu làm nên sự đa dạng của nhận thức, làm cho nhận thức trở nên biện chứng hơn.

Một cấu trúc đại số A được gọi là nhúng chìm đẳng cấu vào cấu trúc đại số  B, nếu tồn tại một ánh xạ đơn cấu từ A vào B hay nói cách khác là trong B có một tập hợp C đẳng cấu với A (nghĩa là A giống y như bộ phận C của B). Ví dụ: ở câu thơ “có rất nhiều mặt trời trong rất nhiều quả trứng”, nếu ta làm phép nhúng chìm đẳng cấu “ cấu trúc” mặt trời vào “cấu trúc” quả trứng, sẽ đưa đến một cách hiểu rất lãng mạn, mà cũng rất bản chất. Chẳng có một mặt trời nào trong quả trứng, nhưng trong quả trứng đang có một bộ phận mang đúng y ý nghĩa của mặt trời (đẳng cấu với mặt trời, nhưng không phải là mặt trời).

Với ý tưởng đó, ta đem ra để hiểu mấy câu thơ sau đây của Raxun Gamzatốp (nhà thơ xứ Đaghestan, Nga):

                    Hỡi niềm vui, anh bay đâu vội thế ?

                   Vào trái tim đang yêu !

                   Còn anh, vội đi đâu tuổi trẻ ?

                   Vào trái tim đang yêu !

                   Và các anh đi đâu thông minh, sức mạnh ?

                   Vào trái tim đang yêu !

                   Còn các anh nỗi buồn, bất hạnh ?

                   Vào trái tim đang yêu !

Theo cách hiểu của đại số học thì trong “trái tim đang yêu” có những cấu trúc con đẳng cấu với các bộ phận: niềm vui, tuổi trẻ, thông minh, sức mạnh, nỗi buồn, bất hạnh. Làm một phép nhúng chìm đẳng cấu các bộ phận đó vào cấu trúc “trái tim đang yêu”, chúng ta sẽ khám phá được nó. Ta cảm nhận được tính phức tạp và sâu thẳm của “trái tim đang yêu”, mà nếu chỉ bằng lời nói thôi thì thật khó lòng mà diễn tả cho hết và cho khúc chiết.

Quan hệ trong toán và quan hệ trong thơ

Trong toán học khái niệm “quan hệ” để chỉ mối ràng buộc giữa các phần tử (tập hợp) thông qua một quy tắc nào đó. Các quan hệ xã hội cũng đều tuân thủ những quy tắc nhất định và chịu sự chi phối của các quy luật toán học.

Trong toán học, một quan hệ 2 ngôi từ tập hợp X đến tập hợp Y là một bộ phận S của tích Đề-các  X.Y\ (S  X.Y). Phần tử x thuộc X được gọi là có quan hệ S với phần tử y thuộc Y nếu và chỉ nếu cặp (x,y) thuộc S. Chú ý rằng trong quan hệ 2 ngôi, khi thiếu đi một trong 2 phần tử (x hoặc y) thì không còn quan hệ nữa và phần tử còn lại kia sẽ chẳng thể làm nên trò trống gì.

Trong xã hội, các quan hệ vợ – chồng, anh – em, cha – con, mẹ – con… đều là những quan hệ hai ngôi. Có thể diễn tả quan hệ vợ – chồng theo ngôn ngữ của toán học như sau: gọi X là tập hợp nữ giới, Y là tập hợp nam giới, S là bộ phận của tích X.Y bao gồm tất cả các cặp (nữ, nam) là vợ chồng của nhau. Chị x được gọi là có quan hệ vợ – chồng với anh y nếu và chỉ nếu cặp (x,y) thuộc tập S.

Làm phép tương tự như vậy, có lẽ chúng ta sẽ giật mình khi đọc mấy câu thơ Hữu Thỉnh mô tả tình cảnh của một người vợ có chồng đi chiến đấu ở xa:

Chị thiếu anh nên chị bị thừa ra.

Hoặc

Một mình một mâm cơm, ngồi bên nào cũng lệch.

Câu thơ trước nói về một quan hệ 2 ngôi nói chung. Câu thơ sau mô tả mối quan hệ đối xứng (mâm cơm hình tròn theo truyền thống của dân tộc Việt, khi thiếu anh, chị ngồi ở đâu cũng chẳng thể trọn vẹn một gia đình).

Đôi điều tản mạn, hy vọng sẽ góp được một gợi ý nào đó cho những ai thích tìm sự lý giải về những điều chưa biết thông qua việc khai thác mối quan hệ của nhiều môn khoa học hoặc muốn chống lại sự hời hợt, thiếu logic trong công việc và trong cuộc sống.